数学が苦手な人が多い理由を考えてみた : いまさら聞けない受験の基礎知識

1-4-1.【数学・理科演習法】

○　なぜ答えを丸写しするのか？

　そもそも、数学や理科の勉強法として、答えを丸写しすることが是とされたのは、和田秀樹氏の「受験は要領」からではないかと私は考えています。

　彼は、この本の初版にこんなことを書いています。

「受験には、根性も才能も偏差値も関係ない。思考力を鍛えろ、なんて真っ赤な大ウソ。受験に創造性も論理性も知能指数も関係ない。きちんきちんと、“暗記の貯金”を着実に積み上げていけば、自然に受かるのが、大学入試なのだ。」

　また、彼はこの本で、赤チャートという最高難易度の参考書の例題をそのまま書き写し、丸暗記してしまうことを提唱しています。独自の塗り絵理論により、基礎は無視して、応用から進め、だんだん塗り絵のように基礎に戻ればいいという信じられないようなことも書いています。これは、野口悠紀夫氏の「超勉強法」でも提唱されている「パラシュート学習法」にも良く似ていますが、どちらも東大卒が机の上で思いつきそうな、常人には到底実行不可能な勉強法です。

　しかし、和田氏は以下のように主張を変えていきます。

大学入試は暗記力テストだ！ 1988年

　　　　　　　　↓

実は理解の伴った暗記だった 2002年

　　　　　　　　↓

大学入試は知識量より思考力が大事　2007年

　そして、最終的にはこのような結論にたどり着きます。

　『結果的に、私が本書で提示した勉強法の骨格は問題はないが、細部でノウハウが古くなっていることや、暗記数学のためには理解が必要であることの強調が足りなかったことなどいくつかの点を反省することになった。また、当時私は医者になって二年目の若僧で、現在ほど認知心理学の勉強をしていなかった。

「丸暗記」ということばをあまりに多用する本書は、理解を伴った暗記と、機械式の丸暗記をきちんと区別していなかった。実際は、私の言う丸暗記は理解を伴った暗記のことだった。』

『■大学入試は知識量よりも思考力がカギ

　思考力って日常的によく使う言葉だけど、具体的にどのような作業プロセスを言うのだろうか。まずそこから説明しよう。

　脳のソフトについて研究する認知心理学では、思考力というのは、「自分の頭のなかに入っている知識を加工したり応用したり組み合わせたりする一連の作業」を進める力を指す。君たちにもなじみの深いコンピュータになぞらえて言うと、人間の頭はインプットされている情報を組み合わせて答えを導く演算＝思考を行っているわけだね。言うまでもなくインプットされている情報というのが知識に相当するんだけど、これがなければ思考作業は成立しない。無から有は生み出せないということだ。』

『このように受験においては、知識をいかに加工するか＝いかに思考するかが問われる局面が数多い。大学側が見たいのは知識量の多寡という単純なことではなくて、むしろ知識を応用していかに考えることができるか、という思考力であるということをまず認識してもらいたい。知識量ではなく思考力で勝つか負けるかが決まる…大学入試とはそういうものだ。』

　氏のいうところの理解を伴った暗記ということばの意味がいまだによくわからないのですが、確かに一部の頭のいい人は、公式などを丸暗記して、何度も使ううちにその意味するところを理解することができるという種類の人がいます。

　しかし、丸暗記という言葉自体は、サヴァン症候群の患者のように、理解を伴わない記憶を指すものです。

　こうした和田氏の、言うことをコロコロと変えて恥じない姿勢こそが、解法数学・暗記数学という魔法に取り付かれた狂信的な高校生の成績が伸び悩むもっとも大きな原因なのではないかと私は考えています。

▽　数学の課題でありがちなこと

　もう一つの理由としては、学校や予備校から出される数学の課題の多さです。学校にせよ、予備校にせよ、なかなか生徒の成績があがらないとなると、すぐに膨大な量の数学問題集を手渡し、信じられないような量の宿題を課します。

　しかし、ここで先ほどの和田氏の歴史的名著(笑)「受験は要領」が絡んでくると、話はともすると、きなくさい方向にながれるのです。私が通っていた(いや、あまり通わなかった)高校で実際にあった出来事をお話したいと思います。

　ついでにいうと、登場してくる三人は(私を含む)、ともにその後、学校を不登校になりました。「受験は要領」に書いてある「塗り絵理論」や「解法書き写し」をそのまま実行することは、それほどまでに受験生を追い詰めてきたのです。

(和田氏の本も、本によってはまともな本もあることをここで書き加えておきます！　ただ高校生はたくさんの本を読み比べるほど暇ではないのも事実です！)

　ある日、学校や予備校からしんじられないような量の宿題を渡されます。

「宿題、どうするよ？」

「『受験は要領』らしいし、わかんなきゃ解答みて、そのまま書きうつせばよくね？」(いーねー！♪)

「でも、計算ミスでとちること多いから、どうしようかね？」

「やってるうちにどうにかなるっしょ！」

「あと、こんなに難しいとこから始めて意味あるのかな？　なんか、問題の中の処理ですらよくわからないところがあるんだけど……」

「塗り絵理論とかパラシュート勉強法っていって、パラシュートみたいに難しいところに飛んでって、塗り絵みたいに難しいところからでも、簡単なところに、塗り絵みたいに届けばいいんだってよ！」(なるほどー！)

　と、こんなことを話しながらがりがり勉強をしていくうちに、三人は体調を崩し始め、学校に来なくなりました。私はその後現役で大学に合格しましたが、一人は浪人して予備校に通い、一人は学校そのものを中退してしまって、いまでは連絡も取れません。彼らはどこにいってしまったのでしょうか？

▽　計算練習

　では、なにをすればいいのでしょうか？

　月並みなようですが、数学の教科書を完璧にすることが一番だと私は考えています。これならまともに解いても、解答丸写しの解法数学の三分の一の時間でできます。

　こまったことには、教科書には丁寧な解説がないことですが、これも教科書ガイドを買って、答え合わせをしてしまえばいいのです。

　教科書ガイドの解答はたしかに雑で、つかうたびに偏差値が一下がるという教師もいますが、なにもしないよりはいいと思いますし、解答の書き方など、のちのち修正することは十分に可能です。

　まずは、基礎を固めることこそ大事なのですから、やはり数学の教科書を終わらせてしまうのが一番です。

▽　同じ問題を何度も！

　また、間違えた問題については、同じ問題を何度も繰り返す必要があります。ある程度の区切りを決めて、間違った問題だけを二周目、三周目に持ち込むのがいいでしょう。

▽　カルキュールはいいのか？

　また、基礎ができない、計算ができないというと、カルキュールなどの別の問題集を薦める人が多いですが、教科書も参考書もどれも中途半端になっては元も子もないですし、それほど解説が充実しているわけでもないので、やはり教科書ガイドと教科書の併用が一番ではないかと考えます。

▽　問題集

　また、学校から配られる、教科書に準拠した問題集もあります。

　あれも確かに基礎に焦点が合わせられていて、良問ぞろいなのですが、いかんせん解説がお粗末で分かりにくいという部分があります。

①　解説が良い

②　先生・チューター・講師に質問に行けば答えてくださる

③　教科書を理解しているため自分で理解に困らない

　のであれば、こうした問題集を使うのが宿題を片付けるという意味でも、問題の質・受験問題へのつなげやすさ・問題数から考えてもぴったりだと私は考えています。

▽　チャート式

　チャート式については、和田氏の本では最近では、青チャートが薦められているそうですが、私には難しすぎると感じます。多くの高校でも、黄チャートや青チャートを薦められているそうですが、県内トップの高校でも、もしチャート式をつかうのであれば、どうしてもチャート式をつかいたいのであれば、白チャートを使うのが最善だろうというのが私の考えです。

　まして、大方の受験生にお勧めなのは、やはり白チャートです。黄色・青・まして赤に手を出せるのは、予備校でタダ券をもらうレベルの生徒でしょう。

　ほかにも、マセナのサルでも分かる～のような参考書も、数式のあいだに赤ペンで注釈が入っているものが多く、分かりやすいのでお勧めです。

▽　多すぎないか？　多ければいいというものではない！

　しかし、教科書をとりあえず一通り解き終わった後に使う参考書はひとつだけにしましょう。その後は、そのままセンターや志望大学の問題に移ってしまってかまいません。そこで、解法の組み立て方の思考力≒試行力(試してみて、失敗して、修正する力)を付ければいいのであって、他の本は一切必要ありません。

　まして、大学への数学シリーズ、特に一対一のような、どうしてあんな難しい参考書が売れているのか良く分からないような奇書を買う必要は絶対にありません。合格体験記にあれを書いている奴は、単なる見栄っ張りで絶対に自分で解いてなんかいません。自分も合格体験記を書いたことがあるので良く分かりますが、こと入学したばかりの新入生というのは、のぼせあがって、やってもないことをやったと書きたがるものなのです。

　やらねばならない問題数が多すぎないか？　多ければいいというものではないということは、常に考え続けてください。

　また、どの問題をやればいいのか悩んだ際には、ぜひ受験相談(yourmanifestojp@gmail.comまで！)していただければ幸いです。

○　裏表学習法で解法を覚えよう！

▽　丸写しをしないために

　さて、数学の勉強で一番大切なことをもう一度確認したいと思います。

　絶対に解答の丸写しをしないことです。

▽　絶対丸写しをしないために

　絶対に解答を丸写ししないためには、なにが必要なのでしょうか？

　まず、答えを見ながら、ノートにかりかり書くことがないようにすればいいという考えから、私は、ルーズリーフの裏に、コピーしたチャート式を張ってみることにしました。

▽　裏にコピーを張る

　この段階で、問題だけよんで、なにも張っていない面にかりかり答えを書き始めます。

▽　裏返す

　一分考えてまったく分からなければ、裏返して、答えを読みます。これがポイントだと思ったところに線を引いてみても、何の意味も無いですから、後述するようなやり方で書き込みを入れてみましょう。

▽　再現する

　一通り、解答の流れを記憶したら、一行ずつ、つまってもいいので、裏に書いてあったことを、表の何もない面に再現しましょう。

▽　試してみる

　このとき大切なことが二つあります。

　一つは、計算はすべて自分の手で行うことです。どんな処理をしているのかが分かれば、あとで自分で計算することはできるはずです。それが出来ないのならば、教科書を教科書ガイドと一緒にやり直したほうがよほど実が大きいです。

　もう一つは、とりあえず、その後の解法がどんな流れだったかをうろ覚えでも覚えていれば、そのまま突っ走っていることです。とりあえず、自分が覚えていそうなところまで突っ走ってみて、岩盤にぶちあたったらまた裏返しをしましょう。

▽　思考ではなく試行

　これは、数学という科目の性質を考えても理にかなった勉強法です。

　入試問題も含めて、数学は思考力が大切だといわれることが多いですが、実際には試してみる力≒試行力のほうがよほど大切です。

　とくに、実際に入試問題を解く段になると、いままで習得してきた解法をいかに組み立てるかが勝負になります。そのときに、教科書の解法から、一段上の解法を組み立てた裏返し数学の経験が活きるのです。

▽　仮説⇒修正

　このように仮説を構築し、仮説を修正する経験は、入試でももちろん、他の教科でも活きてきます。

　よく、英語を得意にしたいなら国語を、小論文を得意にしたいなら数学を、ということを話す講師がいますが、これはあながち間違いではありません。一つの教科を極めても、偏差値60ぐらいで頭打ちになることがほとんどです。少なくとも入試直前までは、あらゆる教科をムダのない効率的かつ効果的な方法論でがんばってみることをおすすめします。

　実際、この数学にしても、私が高校認定試験のために教え子に手ほどきをしたのがきっかけで勉強法を極めることになりましたが、全教科、当初の二倍ほどの点数でパスした教え子は、その後SFC対策でもすさまじいスピードで成績を上げていきました。こうしたことからも、教科に偏らない努力は大切なことがわかります。

　もちろん、現実的にはそういった努力が難しいこともありますから、詳しくは私に受験相談(yourmanifestojp@gmail.comまで！)していただければ幸いです。

▽　裏返す時間

　さて、問題を考え始めてから、裏返して解答をみるまでの時間については、一分だとか、五分だとか、分かるまで考えろとか、諸説ございますが、私は、さくさくとシャープペンシルを動かす音が止まったころ、つまりもうこれ以上試行ができなくなったころが解答を裏返す潮時だと考えています。

　それ以上、なにもせずに考えていても(あるいは考えるふりをしていても)、それほど頭が働いていないことがほとんどで、ムダにしかならないからです。

▽　覚える時間

　解法の流れをおぼえた目安としては、それを見ないで諳んじて説明することができるかどうかということが大切になってきます。

▽　再現する時間

　再現する時間は、自分で考える時間や、解答をごりごり写すだけの単調な時間よりも一気に過ぎていくようにかんじますし、実際に時間の節約にもなります。効率性から考えてもお勧めです。

　それでも、永遠に受験を乗り越えられそうな学力がつく見込みが無いという方は、お気軽に受験相談(yourmanifestojp@gmail.comまで！)していただければ幸いです。

○　はずかしがらずに基礎まで戻ろう！

▽　教科書の一番最初にある

　以前、京都大学の後期試験に出た問題でこんな問題がありました。

tan1°は有理数か　(2006京大後期)

　この解法となる考え方はすべて教科書の一番最初に書いてあります。

【背理法】

1.あり得ない仮定をする

2.現実との矛盾を指摘する

3.初めから存在しなかったと結論付ける

【着想】

教科書の基本問題から

「有理数か？」的な証明問題は背理法で処理

【解法】

0.有理数＝実数の内でa/b(aとbは整数)という分数で表せる数

1.tan1°が有理数であると仮定する←教科書基本問題の着想

2.tanの加法定理を繰り返し使う←これで間違える。

3.tan30°=1/√3 が有理数であることになり矛盾

　ゆえに，tan1°は無理数であると分かります。

　なぜ、この問題が解けないのでしょう？

▽　着想の問題か？

　やはり、一番大きいのは着想の問題でしょう。

　それぞれの部分部分の解法はわかってはいても、それをつなげて一つの問題の答えにする段となると、手が止まってしまうケースが多く見受けられるように感じます。

　このような事態を防ぐためにも、やはり教科書と教科書ガイドを併用して基礎を固めた後に、ざくざくと問題集で「プレ試行力養成」に励まねばなりません。

▽　計算力の問題か？

　計算力の問題もあるでしょう。

　この問題は、京都大学の後期試験、つまり東大や京大の医学部を前期で落ちたような超秀才が受ける試験ですが、それでも正答率は二割に届かなかったといいます。

2.tanの加法定理を繰り返し使う←これで間違える。

　この部分で多くの受験生は間違いをするのです。

○　一行の数式に三行自作解説！

　では、受験生の八割以上が間違えたこの部分に関してだけ抜き出してみてみましょう。間違った際の解説の書き方としては、非常に参考になるはずです。

例題　tanの加法定理の導出

tan (α+β)

= sin (α+β) / cos (α+β)

△　そもそもの定義に戻ると、sinθ=a/h、cosθ=b/h

△　ここで、そもそもの定義に戻ると、 tanθ=a/b

△　よって、tanθ= (sinθ=)a/h /(cosθ＝)b/h

= [sin α cos β + cos α sin β] / [cos α cos β - sin α sin β]

△　sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β

△　cos (α+β) = cos α cos β - sin α sin β

△　サイタコスモスコスモスサイタ、コスモスコスモスマイナスサイタサイタ

= [sin α/cos α + sin β/cos β] / [1 - (sin α/cos α)(sin β/cos β)]

△　分子分母を cos α cos β で割ったもの。

△　どうして割るのか？　⇒　最終目標がtanの式を出すことだから！(忘れがち！)

△　どうして1が出てくるのか？　⇒　 cos α cos βをcos α cos βで割っている！

= (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β).

△　符号を勝手に変える人がいます！

△　分母のマイナスはそのままですか？

△　最終的なtan (α+β) にひきずられないように！

▽　一行目は本当の基礎

　まず、自作解説の一行目だけ抜き出してみてみましょう。

△　そもそもの定義に戻ると、sinθ=a/h、cosθ=b/h

△　sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β

△　分子分母を cos α cos β で割ったもの。

△　符号を勝手に変える人がいます！

　これは、本当の基礎の基礎を振り返るための解説です。

▽　サインコサインすら解説できずに

　なんでこんな当たり前のことをと思われるかもしれませんが、間違いの多い人、ケアレスミスといって言い逃れする人は、だいたいこの基礎が出来ていないものです。

　たとえば、三角関数の演習をしているときであれば、サインコサインすら解説できないままに問題を解いている教え子が多すぎます。そういうふうなことをしないためにも、まずはもっとも基礎的な部分から振り返らなくてはなりません。それこそ、主だった公式なども一度自分自身で証明してみる必要がありますし、よく出てくる概念については、きちっと人に説明できるようにしておかなくてはなりません。

▽　二行目は気をつけるべき点

　次に二行目だけ抜き出してみてみましょう。

△　ここで、そもそもの定義に戻ると、 tanθ=a/b

△　cos (α+β) = cos α cos β - sin α sin β

△　どうして割るのか？　⇒　最終目標がtanの式を出すことだから！(忘れがち！)

　これは、ある程度の基礎が出来た後でも、よく間違える、あるいは思い出せなくなる部分について説明しています。

▽　どこで間違えたのかわからない

　よく数学の添削をしていて、どこで間違えたのかわからない解答がありますが、これこそが一般に言うところの「ケアレスミス」といわれる間違いです。

　ただ、ケアレスミスは防げる間違いです。

　ケアレスミスを防ぐのに、もっとも大切なことは、ケアレスミスがどのようにして起こるかという知識を付けることです。

　ケアレスミスについての知識が蓄積されるごとに、私たちはケアレスミスを減らしていくことが出来ます。

▽　三行目はつなげ方